Ecuaciones no lineales independientes - Método de Newton (VI)

El análogo de (L.10) en notación de matrices es

Jk(x-xk) = -f(xk)

donde J es la matriz jacobiana (la matriz cuyos elementos consisten en las primeras derivadas parciales de las ecuaciones respecto de las variables). Para dos ecuaciones

Ecuaciones no lineales independientes - Método de Newton (V)

EStas ecuaciones son lineales y se pueden resolver mediante un programa de resolución de ecuaciones lineales para obtener el siguiente punto de refencia (x11, x21). Se continúa la iteración hasta lograr una solución con una precisión satisfactoria. Desde luego, cabe la posibilidad de no llegar a ninguna solución, como se ilustra en la figura L.5c, o de no obtener la a causa de errores de redondeo o truncado. Si la matriz jacobiana (véase la ecuación (L.11) más adelante) es singular, las ecuaciones linealizadas tal vez no tengan solución o tengan una familia de soluciones, y lo más probable es que no se pueda obtener una solución con el método de Newton. ES muy común que la matriz jacobiana está male determinada porque si x0 está lejos de la solución o las ecuaciones no lineales tienen una escala deficiente no se obtendrá la solución correcta.

Ecuaciones no lineales independientes - Método de Newton (IV)

Suponga que tiene las siguientes dos ecuaciones independientes de dos variables cuyos valores necesita determinar:

Ecuaciones no lineales independientes - Método de Newton (III)

así que la precisión de la solución aumenta al incrementarse k.

Ecuaciones no lineales independientes - Método de Newton (II)

Por ejemplo, suponga que f(x) = 4x^3 - 1 = 0, de modo que df(x)/dx = 12x^2. La secuencia de pasos para aplicar el método de Newton usando la ecuación (L.7) y comenzando en xo = 3 sería

Ecuaciones no lineales independientes - Método de Newton (I)

Refiérase a las ecuaciones (L.5). Para una sola ecuación (y variable), f(x) = 0, el método de Newton utiliza la expansión de f(x) en una serie de Taylor alrededor de un punto de referencia (una estimación inicial para la solución) xo.

Ecuaciones no lineales independientes (II)

En la figura L.3 se clasifican los principales métodos generales de resolución de sistemas de ecuaciones no lineales. Dentro de cada categoría y combinando categorías podemos encontrar innumerables variaciones y submétodos en la literatura disponibles como códigos para computadora.