Ideas Clave Balances de materia y de energía en estado no estacionario

1. Los balances de materia y de energía de estado no estacionario de este capítulo se formularon en términos de cantidades diferenciales, en contraste con las cantidades integradas de capítulos anteriores.
2. Con esta formulación es preciso resolver ecuaciones diferenciales en vez de ecuaciones algebraicas.
3. El concepto en que se basan las ecuaciones sigue siendo el mismo: acumulación = entrada - salida + generación - consumo.

Retrospectiva Balances de materia y de energía en estado no estacionario

En esta sección explicamos cómo formular balances de materia y de energía para procesos en estado no estacionario en los que interesa la variación con el tiempo.

Ejemplo Modelado de un proceso de calcinación (II)

Los balances de masa para cada uno de los recipientes después de la introducción de xo en la corriente F se convierten en: acumulación = entra - sale si ignoramos las reacciones.

Ejemplo Modelado de un proceso de calcinación (I)

El diagrama de flujo de proceso ilustrado en la figura E7.6a es un lecho fluidizado en el que se calcinan sólidos granulares. Vapor de agua y productos de descomposición gaseosos salen del lecho junto con el gas fluidizante, mientras que productos de óxidos metálicos se depositan en las partículas del lecho fluidizado. En la figura E7.6a, x es la concentración en masa del componente de interés; F es la velocidad de flujo másico de la alimentación; xo es la concentración de x en F; Q es la velocidad de flujo másico de la corriente 1 o 2, según el subíndice; P es la velocidad de flujo másico del producto; y V es la masa en el instante t en el recipiente 1 o 2, según el subíndice.

Solución Balance de energía en estado no estacionario (II)

El proceso se muestra en la figura E7.5. El sistema es el aceite del tanque. La variable independiente será t, el tiempo; la variable dependiente será la temperatura del aceite en el tanque, que es la misma que la temperatura del aceite de descarga. No se requiere el balance de materia porque se supone que el proceso, en lo tocante a la cantidad de aceite, está en estado estacionario.

El primer paso es preparar el balance de energía en estado no estacionario. Sea Ts = la temperatura del vapor de agua y T =  la temperatura del aceite. El balance por unidad de tiempo es

acumulación = entrada - salida

Solución Reacciones oscilantes

El balance macroscópico de ambas especies X y Y es

acumulación = entra - sale + generación  - consumo

Para un sistema de lotes (cerrado), el reactor, los términos de entrada  y salida son cero. Si seguimos los pasos delineados en los problemas anteriores, los términos de generación y consumo serán.

Ejemplo Reacciones oscilantes

En un reactor isótermico tienen lugar las siguientes reacciones:

Solución Balance de materia en una destilación por lotes

Puesto que el propano y el butano forman disoluciones ideales, no tenemos que preocuparnos por cambios de volumen durante la mezcla o la separación. Sólo necesitamos el balance de materia para responder a las preguntas hechas. Si t es la variable independiente y xS es la variable dependiente, podemos decir que:

Ejemplo Balance de materia en una destilación por lotes (I)

Un destilador pequeño está separando propano y butano a 135°C; en un principio contiene 10 kg mol de una mezcla cuya composición es x = 0.30 (x= fracción molar de butano). Se alimenta mezcla adicional (xf = 0.30) a razón de 5kgmol/h. Si el volumen total del líquido en el destilador es constante y la concentración del vapor del destilador (xD) está relacionada con xS como sigue:

Solución Balance de materia en estado no estacionario sin generación (II)

Paso 5

Desafortunadamente, ésta es una ecuación con una variable independiente, t, y dos variables dependientes, h y v*. Es preciso encontrar otra ecuación para eliminar ya sea h o v* si queremos obtener una solución. Como queremos que nuestra ecuación final esté expresada en términos de h, el siguiente paso es encontrar alguna función que relacione v* con h y t, y luego podemos sustituir v* en la ecuación de estado no estacionario (b)

Utilizaremos la ecuación de balance de energía mecánica en estado  estacionario para un fluido incompresible que analizamos en la sección 5.5 para relacionar v* y h. Vea la figura E7.2b, Con W = 0 y  Ev =0, los balances de energía mecánica en estado estacionario se reducen a

Solución Balance de materia en estado no estacionario sin generación (I)

Solución

Paso 1 Dibuje un diagrama del proceso y anote los datos. Vea la figura E7.2a.

Ejemplo Balance de materia en estado no estacionario sin generación

Un tanque cuadrado de 4 m por lado y 10 m de altura se llena hasta el borde con agua. Calcule el tiempo que tardará en vaciarse a través de un agujero en el fondo con un área de 5 cm²

Solución Balance de materia de estado no estacionario sin generación.

Plantearemos desde el principio las ecuaciones diferenciales que describen el proceso.

Paso 1
Haga un dibujo y anote los datos conocidos. Vea la figura E7.1

Ejemplo Balance de materia de estado no estacionario sin generación.

Un tanque contiene 100 galones de una disolución de sal en agua que contiene 4.0 lb de sal. Entra agua en el tanque a razón de 5 gal/min y la disolución de sal se desborda con la misma velocidad. Si el mezclado en el tanque es suficiente para mantener la concentración de sal en el tanque uniforme en todo momento.  Cuánta sal habrá en el tanque al término de 50min? Suponga que la densidad de la disolución de sal es prácticamente la misma que la del agua.

Conceptos principales Balance de materia y de energía en estado no estacionario (VIII)

Puede ser bastante difícil resolver analíticamente una de las ecuaciones muy generales (7.6), (7.7) o (7.8), o cualquier combinación de ellas, así que en los siguientes ejemplos tendremos que restringir nuestro análisis a casos sencillos. Si hacemos suficientes suposiciones (razonables) y trabajamos con problemas sencillos, podermos consolidar o eliminar suficientes términos de las ecuaciones como para poderlas integrar y obtener respuestas analíticas. Si no es posible obtener soluciones analíticas, podemos usar  un programa de computadora que nos permita obtener una solución numérica para un caso específico.

En la formulación de ecuaciones de estado no estacionario aplicamos los procedimientos usuales de resolución de problemas que vimos en los capítulos anteriores. Podemos plantear la ecuación como en las ecuacione (7.2)-(7.4) o utilizar directamente las ecuaciones diferenciales (7.5)-(7.7). Para completar la formulación de problema será necesario incluir un valor conocido de la variable dependiente (o de su derivada) en un instante específicado, por lo regular la condición inicial.

A continuación examinaremos algunos problemas de estado no estacionario muy sencillos. El lector encontrará ejemplos más complicados en textos que tratan todos los aspectos de la transferencia de masa, la transferencia de calor y la dinámica de fluidos.

Conceptos principales Balance de materia y de energía en estado no estacionario (VII)

La relación entre el balance de energía dado por la ecuación (7.8), que tiene dimensiones de energía por unidad de tiempo y el balance de energía dado por la ecuación (5.13), que tiene dimensioens de energía, deberá quedar bastante clara. La ecuación (5.13) representa la integración de la ecuación (7.8) respecto al tiempo, lo que se expresa formalmente así:

Las cantidades que aparecen en la ecuación (5.13) sin el punto encima son los valores integrados respectivos de la ecuación (7.9).

Conceptos principales Balance de materia y de energía en estado no estacionario (VI)

El resto de la notación de los balances de materia y de energía es idéntica a la usada en los capítulos 3 y 5; observe que el trabajo, el calor, la generación y el transporte de masa ahora se expresan todos como términos de velocidad (masa o energía por unidad de tiempo).

Si dividimos ambos miembros de la ecuación (7.2) entre Δt obtenemos

Conceptos principales Balance de materia y de energía en estado no estacionario (V)

La introducción de todos estos términos en la ecuación (7.1) produce la ecuación (7.2). Las ecuaciones (7.3) y (7.4) se pueden obtener siguiendo exactamente el mismo tipo de análisis. Trate de formular las ecuaciones (7.3) y (7.4) usted mismo.

Balance de materia de la especie A:

Conceptos principales Balance de materia y de energía en estado no estacionario (IV)

Observe una vez m'as que las dimensiones netas del término de transporte son las de masa de A. Los demás tipos de transporte a través de la frontera del sistema se pueden presentar por

Conceptos principales Balance de materia y de energía en estado no estacionario (III)

Dividiremos el transporte de masa a través de la frontera del sistema en dos partes: el transporte a través de las superficies definidas S1 y S2 cuyas áres se conocen y el transporte a través de la frontera del sistema por otras superficies (no definidas). El transporte neto de A hacia el interior (a través de S1) y hacia el exterior (a través de S2) del sistema por las superficies definidas se puede escribir así: